Matematické myšlení

K čemu je mi matika?, ptá se student. Rozvíjí matematické myšlení, odpovídá pedagog. Proč je to manipulace a jak se jí vyhnout?

K čemu je matematika?

Úspěšní uživatelé matematiky mají potřebu přemýšlet o matematických vztazích a porozumět jim. Zároveň chápou matematiku jako jeden z prostředků svého rozvoje. [Jo Boaler]

Jedním z užitků je osvojení si induktivního a deduktivního uvažování pro přesnější vyhodnocení reality. Intuice a náhodné asociace, které jsou prvním projevem myšlení, jsou snadno manipulovatelné a tendenčně zkreslené. Formální dokazování občas přinese překvapivý závěr, že něco na první pohled samozřejmého neplatí, nebo že neplatí vždy.

Jiný užitek spočívá ve schopnosti dělat podložené soudy. Kupecké počty jsou dobré pro přepočítání drobných v obchodě a zde většina lidí s matematikou končí. Matematika však také nabízí goniometrii (kolik čeho nakoupit při rekonstrukci), derivace (hledání nejvýhodnějšího kompromisu mezi nejvíce a nejméně), pravděpodobnost a statistiku (vytváření portfolií minimalizující riziko a maximalizující zisk), posloupnosti a řady (odhalení lichvářského úroku bank) a další techniky umožňující poznat věci, které nejsou intuitivně zřejmé.

Matematické myšlení není samo o sobě ctností

Je dobré si používání matematiky vyzkoušet (ne ve škole při řešení příkladů, ale při řešení našich vlastních problémů). Někoho naplní radostí, když něco pomocí matematiky vyřeší, jiného to nechá chladným - matematické myšlení je žádoucí pouze pro ty první. Jakékoliv pojmenované myšlení ale znamená, že myslíme ve schématech, že tendenčně nesouhlasíme s věcmi neodpovídající těmto schématům a že tedy vnímáme realitu zkresleně. Vezměme si třeba rozdíl mezi matematikem a programátorem:

Jak vidno, myšlení matematika je často opačné než myšlení programátora a obojí má své limity. Dobrý matematik ale nezůstává u matematického myšlení a umí programovat v R, dobrý programátor nezůstává u kupeckých počtů a používá třeba parametrickou rovnici kruhu pro implementaci zatáčení. Přesto si programátor nemůže dovolit příliš matematického myšlení, neboť obvykle pracuje s omezenými zdroji nedovolujícími absolutní přesnost. Matematik si zase nemůže dovolit luxus nepřesnosti.

Závěr Matematické myšlení není vhodné pro každého a někomu může škodit. Pro posouzení prospěšnosti či škodlivosti je však nutné si jej vyzkoušet.

Matematika není logika

Logika, nauka o správném uvažování, je často podávána jako matematická disciplína, což vede ke zcestnému zobecnění, že matematika rozvíjí správné uvažování, že je tedy základem pro ostatní předměty a že je povinná u maturity.

Ve skutečnosti je matematika velmi nevhodný nástroj pro popis logiky. Logika je humanitní disciplína, myšlení nelze redukovat na matematické operace.

Matematiku a její axiomy o logice je možné efektivně použít ke zjednodušení elektronických obvodů, kde se aplikuje konjunkce (and), disjunkce (or) a negace (not). Zjednodušení se provádí pomocí nástrojů typu Karnaughova mapa a redukce na úplnou disjunktivní (či kojunktivní) normální formu. Ani okrajově se tyto operace netýkají uvažování, vůbec se zde nepoužívá odvozování a dokazování.

Sama implikace je matematicky definována zcestně: matematika např. tvrdí, že je logicky pravdivý výrok pokud na Měsíci běhají modré laně, mají sloni v Antarktidě špatnou náladu - stěží lze toto nazvat správným uvažováním. Matematický model používající stavy pravdivé a nepravdivé je zcela nepoužitelný přidáním třetího pojmu zcestné.

Uvažování také operuje s časem (bylo, bude), který se snaží popsat temporální logika. Operuje též s pojmy (vždy, někdy), které se snaží popsat modální logika. Také s pojmem (nejistoty) popsaného fuzzy logikou. S pojmy (všechno, něco) popisované predikátovou logikou. Je zřejmé, že všechna tato řešení jsou ad-hoc, že aplikace všech těchto nástrojů vede k neprakticky složitým rovnicím, které ani tak nepostihují vše ze správného uvažování.

Samo matematické odvozování tím, že nezavádí hodnotu zcestné, tedy míru souvislosti, si nemůže klást žádné nároky na posouzení pravdivosti. Bylo by třeba logiku sloučit se statistikou, abychom pomocí Bayesovy věty dokázali kvantifikovat, jestli predikát a závěr spolu vůbec souvisí. Tento postup by byl ale argumentačním faulem post hoc ergo propter hoc, jak nás upozorňuje humanitní logika.

Při řešení reálných sporů se nezkoumá, jestli někdo utvořil výrok tak, aby jej bylo možné popsat nějakým matematickým nástrojem - lidská řeč je zkrátka příliš bohatá na to, aby ji matematika dokázala popsat. Zkoumají se argumentační fauly: politici v televizi sypou jeden faul za druhým, ohýbají realitu, jak se jim zlíbí, a matematika je z žádné lži nedokáže usvědčit.

Závěr Kdo používá matematické myšlení jako základ logiky, toho každý sofista oblafne jako malé děcko.

Zajímavost

Je teoreticky zajímavý poznatek, že existují čísla, která nelze vyjádřit zlomkem, nikdo ale nepočítá s reálnými čísly. Děláme-li ruční výpočet, omezujeme se na dvě desetinná čísla. Děláme-li výpočet na počítači, pracujeme s typem double definovaným standardem IEEE 754 jako čísla s ukončeným desetinným rozvojem schopným podchytit pouze 15 platných cifer s plovoucí desetinnou čárkou. Ve všech oborech lidské činnosti jsme se této nepřesnosti přizpůsobili: není zájem o specializovaný hardware na přesnost výpočtu, není tedy zájem o reálná čísla (natož o čísla imaginární, která jsou z pohledu programátora pouhý objekt nad výpočty typu double), není tedy důvod je na školách rozebírat více než zmínkou o jejich existenci. Zná-li někdo π na více než 14 desetinných míst, není výpočtu, kde by tuto znalost mohl reálně použít (prakticky skoro vždy stačí 2 desetinná místa).

Jan Turoň